algebra-webapp/data/theory-cap01.json

{
  "vectors-theory": {
    "title": "Vectores en ℝ² y ℝ³",
    "content": "Un vector es un segmento orientado con origen y extremo. En $\\mathbb{R}^2$: $\\vec{u} = (u_x; u_y)$. En $\\mathbb{R}^3$: $\\vec{u} = (u_x; u_y; u_z)$. El módulo es $|\\vec{u}| = \\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$. Vector unitario: $\\hat{u} = \\vec{u}/|\\vec{u}|$.",
    "relatedExercises": ["cap01-01", "cap01-02", "cap01-03", "cap01-04"]
  },
  "vector-ops": {
    "title": "Operaciones con Vectores",
    "content": "Suma: $\\vec{u} + \\vec{v} = (u_x+v_x; u_y+v_y; u_z+v_z)$. Multiplicación por escalar: $k\\vec{u} = (k\\cdot u_x; k\\cdot u_y; k\\cdot u_z)$. Propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento opuesto.",
    "relatedExercises": ["cap01-04"]
  },
  "dot-product": {
    "title": "Producto Escalar (Dot Product)",
    "content": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = |\\vec{u}|\\cdot|\\vec{v}|\\, \\cos(\\alpha)$. Propiedades: conmutativa, distributiva. Condición de perpendicularidad: $\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$.",
    "relatedExercises": ["cap01-05"]
  },
  "cross-product": {
    "title": "Producto Vectorial (Cross Product)",
    "content": "$\\vec{u} \\times \\vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y; u_z v_x - u_x v_z; u_x v_y - u_y v_x)$. Se calcula por determinante: $\\vec{u} \\times \\vec{v} = \\begin{vmatrix} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ u_x & u_y & u_z \\\\ v_x & v_y & v_z \\end{vmatrix}$. $\\vec{u} \\times \\vec{v} \\perp \\vec{u}$ y $\\vec{u} \\times \\vec{v} \\perp \\vec{v}$.",
    "relatedExercises": ["cap01-06"]
  },
  "parallel-perp": {
    "title": "Paralelismo y Perpendicularidad",
    "content": "Paralelos: $\\vec{u} \\parallel \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} = k\\vec{v}$ (componentes proporcionales). Perpendiculares: $\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$.",
    "relatedExercises": ["cap01-07", "cap01-08"]
  },
  "coplanarity": {
    "title": "Producto Mixto y Coplanaridad",
    "content": "Producto mixto: $[\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w}] = \\vec{u} \\cdot (\\vec{v} \\times \\vec{w}) = \\begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\\\ v_x & v_y & v_z \\\\ w_x & w_y & w_z \\end{vmatrix}$. $\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w}$ son coplanarios $\\Leftrightarrow [\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w}] = 0$.",
    "relatedExercises": ["cap01-09", "cap01-29"]
  },
  "line-equations": {
    "title": "Ecuaciones de la Recta",
    "content": "Vectorial: $r: \\vec{X} = \\vec{P_0} + t\\vec{v}$. Paramétricas: $x = x_0 + t v_x, y = y_0 + t v_y, z = z_0 + t v_z$. Continuas: \\frac{x-x_0}{v_x} = \\frac{y-y_0}{v_y} = \\frac{z-z_0}{v_z}$.",
    "relatedExercises": ["cap01-10", "cap01-11"]
  },
  "line-positions": {
    "title": "Posición Relativa de Dos Rectas",
    "content": "Paralelas: $\\vec{v_1} \\parallel \\vec{v_2}$. Secantes: $\\vec{v_1} \\neq k\\vec{v_2}$ y existe solución a $P_1 + t\\vec{v_1} = P_2 + s\\vec{v_2}$. Se cruzan: $\\vec{v_1} \\neq k\\vec{v_2}$ y $[\\vec{v_1},\\vec{v_2}, P_2-P_1] \\neq 0$.",
    "relatedExercises": ["cap01-12"]
  },
  "distance-lines": {
    "title": "Distancia entre Rectas",
    "content": "Paralelas: $d(r_1,r_2) = |(P_2-P_1) \\times \\vec{v}| / |\\vec{v}|$. Si se cruzan: $d = |[\\vec{v_1},\\vec{v_2},P_2-P_1]| / |\\vec{v_1} \\times \\vec{v_2}|$.",
    "relatedExercises": ["cap01-13", "cap01-14"]
  },
  "plane-equations": {
    "title": "Ecuaciones del Plano",
    "content": "Vectorial: $\\Pi: \\vec{X} = \\vec{P_0} + s\\vec{v_1} + t\\vec{v_2}$. Normal: $\\vec{n} = (a;b;c)$, ecuación general: $ax + by + cz + d = 0$ donde $d = -\\vec{n} \\cdot \\vec{P_0}$.",
    "relatedExercises": ["cap01-16", "cap01-17"]
  },
  "plane-positions": {
    "title": "Posición Relativa de Planos",
    "content": "Paralelos: $\\vec{n_1} \\parallel \\vec{n_2}$. Si además $d_1/k = d_2$: coincidentes. Secantes: $\\vec{n_1} \\neq k\\vec{n_2}$ (se cortan en una recta). $\\Pi_1 \\perp \\Pi_2 \\Leftrightarrow \\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 0$.",
    "relatedExercises": ["cap01-19", "cap01-20"]
  },
  "angle": {
    "title": "Ángulos entre Rectas, Planos y Recta-Plano",
    "content": "Entre rectas: $\\cos \\alpha = |\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2}| / (|\\vec{v_1}|\\cdot|\\vec{v_2}|)$. Entre planos: $\\cos \\alpha = |\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}| / (|\\vec{n_1}|\\cdot|\\vec{n_2}|)$. Entre recta y plano: $\\sin \\beta = |\\vec{v} \\cdot \\vec{n}| / (|\\vec{v}|\\cdot|\\vec{n}|)$.",
    "relatedExercises": ["cap01-15", "cap01-21", "cap01-22"]
  }
}