{
  "systems-theory": {
    "title": "Sistemas de Ecuaciones Lineales",
    "content": "Sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas: $A \\cdot X = B$. $A$ (matriz coeficientes $m \\times n$), $X$ (incógnitas $n \\times 1$), $B$ (términos independientes $m \\times 1$). Matriz ampliada $A' = [A|B]$ de dimensión $m \\times (n+1)$.",
    "relatedExercises": ["cap03-01", "cap03-02"]
  },
  "gauss-method": {
    "title": "Método de Eliminación de Gauss",
    "content": "Transformar la matriz ampliada a forma triangular mediante operaciones elementales ($F_i \\leftrightarrow F_j$, $F_i \\rightarrow cF_i$, $F_i \\rightarrow F_i + cF_j$) y resolver por sustitución regresiva. Pivote: elemento $a_{ii} \\neq 0$.",
    "relatedExercises": ["cap03-03"]
  },
  "gauss-jordan": {
    "title": "Método de Gauss-Jordan",
    "content": "Llevar la matriz ampliada a forma escalonada reducida por filas: cada pivote es 1 y tiene ceros arriba y abajo. La solución se lee directamente sin sustitución regresiva.",
    "relatedExercises": ["cap03-04"]
  },
  "cramer-rule": {
    "title": "Regla de Cramer",
    "content": "Para sistemas $n \\times n$ con $|A| \\neq 0$: $x_j = \\frac{|A_j|}{|A|}$ donde $A_j$ es $A$ con columna $j$ reemplazada por $B$. Requiere $n+1$ determinantes — impracticable para sistemas grandes.",
    "relatedExercises": ["cap03-05"]
  },
  "rouche-frobenius": {
    "title": "Teorema de Rouché-Frobenius",
    "content": "Sea $r = \\text{rg}(A)$, $r' = \\text{rg}(A'|)$. Si $r \\neq r'$: SI (incompatible). Si $r = r' = n$: SCD (única solución). Si $r = r' < n$: SCI (infinitas soluciones, $n-r$ parámetros libres).",
    "relatedExercises": ["cap03-06", "cap03-08"]
  },
  "homogeneous": {
    "title": "Sistemas Homogéneos",
    "content": "Sistema $AX = 0$ con todos los términos independientes nulos. SIEMPRE tiene al menos la solución trivial $X = 0$. Tiene soluciones no triviales $\\Leftrightarrow \\text{rg}(A) < n \\Leftrightarrow |A| = 0$ (sistema cuadrado).",
    "relatedExercises": ["cap03-07"]
  }
}